Интегрируемые биллиарды на клеточных комплексах и интегрируемые гамильтоновы системы
25 августа 2020 года
00:23
Интегрируемые биллиарды на клеточных комплексах и интегрируемые гамильтоновы системы
Текст новости:
Актуальность темы и степень её разработанности Диссертация посвящена созданию и существенному развитию нового научного направления, находящегося на стыке теории интегрируемых невырожденных устойчивых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (см. подробнее главу 3 в книге1 А.В. Болсинова и А.Т.Фоменко) и теории математических биллиардов. Это стало возможным благодаря введению нового класса интегрируемых биллиардных систем – биллиардных книжек. Этот класс введён автором и обобщает ранее разработанные и исследованные топологические интегрируемые биллиарды – ориентируемые многообразия, состоящие из элементарных плоских биллиардов-листов, ограниченных дугами софокусных квадрик (более подробно, см. работу2 автора). Оказывается, этот новый класс биллиардов-книжек позволяет реализовывать многие важные гамильтоновы интегрируемые системы в математической физике, механике, топологии, симплектической геометрии. Анализ топологии лиувиллевых слоений топологических биллиардов и биллиардных книжек произведен с помощью методов теории Фоменко–Цишанга об инвариантах интегрируемых систем. Это позволило обнаружить множество новых и нетривиальных результатов и связей, позволяющих моделировать многие другие интегрируемые системы с помощью интегрируемых биллиардов. Классической теории математического биллиарда – задаче о движении материальной точки в плоской области, ограниченной кусочно-гладкой кривой, с абсолютно упругим отражением на границе – посвящено множество работ (отметим книги В. В. Козлова, Д. В. Трещёва 3 и С. Л. Табачникова 4 , в которых дан обзор современных и классических исследований биллиардов). Интегрируемость биллиарда в области, ограниченной эллипсом, была замечена в работе Дж. Д. Биркгофа 5 . Интегрируемость геодезического потока на эллипсоиде следует из теоремы Якоби–Шаля. При стремлении меньшей полуоси эллипсоида к нулю движение по геодезическим на нём переходит в движение по ломаным, целиком лежащим в образе эллипсоида – плоской области, ограниченной эллипсом. В настоящее время в теории математического биллиарда можно выделить два ярких направления исследований. Во-первых, это направление, посвященное вопросам интегрируемости. Дж.Д.Биркгофом была сформулирована гипотеза, которая состоит в следующем. Пусть односвязная область ограничена гладкой кривой. При этом биллиард в данной области является интегрируемым — то есть, вдоль траекторий сохраняется функция, независимая с квадратом длины вектора скорости (иначе говоря, энергией системы). Тогда данная кривая обязательно является эллипсом. В последнее время этой тематике было посвящено множество ярких работ. 1 А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, “ Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация”, Т.1,2, Ижевск НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 1999 2 В.В.Ведюшкина, “Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик”, Матем. сб., 206:10 (2015), с. 127–176 3 В. В. Козлов, Д. В. Трещёв, “Генетическое введение в динамику систем с ударами”, М.: Изд-во МГУ, 1991 4 С. Л. Табачников, “Геометрия и биллиарды”, М.-Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2011 5 Дж. Д. Биркгоф, “Динамические системы”, Издательский дом «Удмуртский университет», 1999 1
Связанные объекты: #А Т Фоменко (найти в новостях), #МГУ (найти в новостях).

Текст со страницы (автоматическое получение):
Автоматическая система мониторинга и отбора информации
Источник