Об алгебраических свойствах аналитических функций некоторых классов и их приложениях в теории трансцендентных чисел
25 августа 2020 года
00:55
Об алгебраических свойствах аналитических функций некоторых классов и их приложениях в теории трансцендентных чисел
Текст новости:
Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòû  òåîðèè òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë çíà÷èòåëüíîå ìåñòî çàíèìàþò èññëåäîâàíèÿ àðèôìåòè÷åñêîé ïðèðîäû çíà÷åíèé ðàçëè÷íûõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Îäíèì èç îñíîâíûõ ìåòîäîâ â ýòîé îáëàñòè îñòà¼òñÿ îïóáëèêîâàííûé â 1929 ã. ìåòîä Ê. Çèãåëÿ1, 2 , ïîçâîëÿþùèé óñòàíàâëèâàòü òðàíñöåíäåíòíîñòü è àëãåáðàè÷åñêóþ íåçàâèñèìîñòü çíà÷åíèé â àëãåáðàè÷åñêèõ òî÷êàõ öåëûõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé íåêîòîðîãî êëàññà, íàçâàííûõ èì Å-ôóíêöèÿìè. Îáîçíà÷èì A, K, ZK , Z+ , Z− , ñîîòâåòñòâåííî, ïîëå âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, ïðîèçâîëüíîå ïîëå àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë êîíå÷íîé ñòåïåíè íàä Q, êîëüöî öåëûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë ïîëÿ K, ìíîæåñòâà N ∪ {0} è Z \ N. Ïóñòü |α| ðàçìåð ÷èñëà α ∈ A (ìàêñèìóì ìîäóëåé ÷èñåë, àëãåáðàè÷åñêè ñîïðÿæ¼ííûõ ñ α), H(P ) è |P | ñîîòâåòñòâåííî, âûñîòà è ðàçìåð ìíîãî÷ëåíà P ∈ A[x1 , . . . , xm ] (ìàêñèìóì ìîäóëåé è ðàçìåðîâ åãî êîýôôèöèåíòîâ). Îïðåäåëåíèå 1. Àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Àêòóàëüíîñòü òåìû è ñòåïåíü å¼ ðàçðàáîòàííîñòè. ∞ ∑ zn f (z) = cn , n! n=0 cn ∈ K, íàçûâàåòñÿ Å-ôóíêöèåé, åñëè ïðè ëþáîì ε > 0: 1◦ . |cn | = O(nεn ), n → ∞. 2◦ . Ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {dn } îáùèõ çíàìåíàòåëåé ÷èñåë c1 , . . . , cn , òàêàÿ, ÷òî dn = O(nεn ), n → ∞. Ìíîæåñòâî Å-ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì êîëüöîì, çàìêíóòûì îòíîñèòåëüíî èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðåäåëàõ îò 0 äî z , à òàêæå çàìåíû àðãóìåíòà z íà αz , ãäå α ∈ A. Ïðîñòåéøèìè Å-ôóíêöèÿìè ÿâëÿþòñÿ ìíîãî÷ëåíû èç A[z], ez , sin z , cos z , sh z , ch z , ôóíêöèÿ Áåññåëÿ J0 (z). Áîëåå ñëîæíûå ïðèìåðû Åôóíêöèé ïîëó÷àþòñÿ èç (îáîáù¼ííûõ) ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ( ) ∞ ∑ 1, ν1 , . . . , νl (ν1 )n . . . (νl )n n ⃗ z = l φq (z) = l φq (⃗ν ; λ; z) = z , l+1 Fq λ1 , . . . , λ q (λ ) . . . (λ ) 1 n q n n=0 1 Siegel C.L. Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen // Abh. Preuss. Acad. Wiss., Phys.-Math. Kl. 1929 1930.  1. S. 1 70. 2 Siegel C.L. Transcendental numbers. Princeton: Princeton University Press, 1949. 1
Связанные объекты: #A (найти в новостях).

Текст со страницы (автоматическое получение):
Автоматическая система мониторинга и отбора информации
Источник