Вопросы спектральной теории абстрактных и дифференциальных операторов для неядерных возмущений и проблема порядка
17 октября 2020 года
17:42
Вопросы спектральной теории абстрактных и дифференциальных операторов для неядерных возмущений и проблема порядка
Текст новости:
Актуальность темы. В классических работах середины XX-ого века была построена теория возмущений спектра для самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах (Фридрихс, фон Нейман, Като, Бирман, Л. Фаддеев) и даны ее приложения к спектральному анализу операторов математической физики (помимо перечисленных, упомянем M. Крейна, Марченко, Левитана). В этих работах была обнаружена исключительная роль класса S1 ядерных операторов. Оказалось, что абсолютно непрерывный спектр операторов сохраняется при ядерных возмущениях, и этот результат неулучшаем в естественной шкале компактных операторов S𝑝 , 𝑝 ≥ 1. Результаты ядерной теории были позднее перенесены на случай, когда возмущенный оператор несамосопряжен (Сахнович, Павлов, Набоко) c использованием методов функциональной модели Секефальви-Надя–Фояша. Параллельно с исследованием вопроса об устойчивости спектра в рамках абстрактной теории, в задачах математической физики изучалась абсолютная непрерывность и дискретность спектра самосопряженных операторов Шрёдингера и Дирака, а также матриц Якоби (Молчанов, Д. Пирсон, Килип, Денисов, А. Киселев, Ремлинг, Ласт, Саймон). В частности Килипом и Дайфтом в 1999 году было показано, что а. н. спектр самосопряженного оператора Шрёдингера на полуоси совпадает с полуосью, если потенциал квадратично суммируем. Этот результат неулучшаем в шкале 𝐿𝑝 . Наиболее общий вид обыкновенного дифференциального оператора второго порядка задается оператором канонической системы. В виде канонической системы могут быть представлены упомянутые операторы Шрёдингера и Дирака, а также матрицы Якоби и операторы нагруженной струны. Канонические системы естественно возникают в рамках теории де Бранжа пространств целых функций при решении обратных задач. Особый интерес представляют вопросы о дискретности спектра и его асимптотическом распределении. В частном случае нагруженной струны ответ на вопрос о дискретности спектра был получен Крейном. В регулярном случае известна также формула Крейна– де Бранжа для старшего члена асимптотики считающей функции. Старший член этой асимптотики исчезает, если гамильтониан вырожден почти всюду. В терминах шкалы S𝑝 , 𝑝 > 0, эта ситуация отвечает резольвенте в классах S𝑝 , 0 < 𝑝 < 1. В сингулярном случае было дано описание канонических систем с резольвентой из класса ГильбертаШмидта (Ворачек, Кальтенбок). Перечисленные результаты показывают насущность исследования существенного спектра в ситуациях, находящихся за пределами ядерной теории возмущений. Сюда относятся как вопросы устойчивости а. н. спектра при неядерных возмущениях, так и вопросы асимптотического поведения спектра при наличии единственной точки накопления. Им и посвящена диссертация. Цель работы состоит в анализе существенного спектра абстрактных и дифференциальных операторов в случае, когда ядерная теория неприменима. Исследуемые задачи естественно можно классифицировать в зависимости от того, с какой стороны ядерного класса S𝑝 с 𝑝 = 1 они находятся: 𝑝 < 1 или 𝑝 > 1. Поясним здесь, что утверждения, относящиеся к ядерному классу и его инфинитезмальной окрестности, разумеется, применимы к задачам, сводящимся к операторам из классов S𝑝 с 𝑝 < 1, но приводят к тривиальным выводам (например, упомянутая выше формула Крейна– де Бранжа в случае чисто сингулярной нагрузки говорит лишь о том, что считающая функция спектра 𝑁 (𝑡) = 𝑜(𝑡) при 𝑡 → ∞, что не дает никакого представления о реальном поведении собственных значений). В этом смысле мы говорим о задачах с 𝑝 < 1 как находящихся за пределами ядерной теории. В ситуации 𝑝 > 1 мы исследуем 3

Текст со страницы (автоматическое получение):
ПРИЕМНАЯ
ВЫСШАЯ АТТЕСТАЦИОННАЯ КОМИССИЯ
при Министерстве науки и высшего образования Российской Федерации
Высшая аттестационная комиссия при Министерстве науки и высшего образования Российской Федерации создана в целях обеспечения государственной научной аттестации
ВЫСШАЯ АТТЕСТАЦИОННАЯ КОМИССИЯ
Автоматическая система мониторинга и отбора информации
Источник
Другие материалы рубрики